Numero 12

ultima puntanta
Se non ricordo male l’ultima volta avevamo trovato un metodo più semplice per il calcolo di pigreco, quello delle serie numeriche.

Sì, certo... ma non era finita.
Infatti dovevamo trovare la sua ultima cifra decimale.

Era il nostro punto di partenza, vero?

Il nostro viaggio era iniziato alla ricerca di un numero che, per quanto potesse essere lungo, rappresentasse esattamente il simbolo š. Oppure che š possa essere scritto attraverso una frazione.

Una frazione? Anche un numero con tante cifre decimali?
Perchè ti meravigli tanto? In fondo gli Egizi, se ben ricordi, avevano già usato una frazione, per tentare di risolvere la quadratura del cerchio.

Va bene, ma era comunque un valore non preciso! Si può davvero scrivere un numero decimale come frazione?
Certo. Basta scrivere una frazione che abbia al numeratore il numero con tutte le cifre decimali senza la virgola e al denominatore 1 seguito da tanti zeri quante le cifre decimali. Per esempio 4,12345598 si può scrivere come .

E non è tutto! Si può scrivere anche un numero con infinite cifre decimali che si ripetono sempre uguali.

Davvero? Anche 1,3333333333333?
Questi numeri si chiamano periodici. Esiste un modo per scriverli come frazioni. Per esempio quello che hai scritto tu corrisponde a .

Prova a dividere 4 per 3 e l’otterrai.
Come vedi non è tanto strano domandarsi se anche š ha una frazione che lo rappresenti.

Ed è stata trovata questa frazione?
Purtroppo non esiste. Ma a questo risultato ci siamo arrivati grazie al lavoro delle grandi menti del passato, come hai visto finora. Solo nel 1766 il matematico John Lambert dimostrò inconfutabilmente che pigreco non si può rappresentare come una frazione; quindi non esiste un suo valore esatto. È un irrazionale, come avevamo detto all’inizio di questo racconto.

Ma allora questo racconto finisce così? Non c’è un lieto fine?
Niente lieto fine! A volte come uomini cadiamo nell’errore di pensare che, essendo esseri razionali, possiamo fare tutto e soprattutto controllare, schematizzare ogni cosa. Ma il potere della nostra mente non è assoluto; esistono leggi che non possiamo cambiare o modificare a nostro piacimento. E così ci ridimensioniamo, per fortuna! š è una di queste realtà.
E devo darti un’altra cattiva notizia. Ricordi la quadratura del cerchio?

Sì, certo. Bisognava trovare un quadrato con la stessa area di un cerchio.
Brava! In fondo trovare il lato del quadrato equivalente ad un cerchio è quasi la stessa cosa che trovare un segmento lungo esattamente pigreco. Cioè rettificare una circonferenza.

Che significa rettificare una circonferenza?
Prendi una circonferenza di raggio 0,5 e pensa di tagliarla in un punto e stenderla. Il segmento che otterresti è un segmento di lunghezza š.

Fatto! Allora che succede, dov’è la brutta notizia?
La brutta notizia è che questo processo immaginabile con la mente non si potrà mai fare praticamente. Non sarà mai possibile trovare un segmento esattamente lungo š.
Nel 1882 il matematico Ferdinando Lindemann arrivò a dimostrare che pigreco è trascendente, cioè non è possibile disegnarlo.

Ma non dire stupidaggini! Se io prendo uno spago e lo avvolgo intorno ad un piatto, alla fine ottengo un segmento lungo quanto la circonferenza del piatto e quindi anche š.
Vero, ma quello che ottieni è un’approssimazione di š non tanto diversa da una di queste di cui stiamo parlando.

Cioè?
Cioè quando trovi una lunghezza non è mai precisa, c’è sempre un errore. Non sei convinta? Prova a fare la stessa misurazione più volte, troverai valori diversi; di poco, ma diversi!
Esiste tutta una teoria, in Fisica, sugli errori commessi durante una misurazione.
Qui stiamo cercando qualcosa di netto, non approssimato. È questo valore che Lindemann dimostra che non si può trovare.

Mi fido, anche se non sono proprio convinta... Ma è così importante questo risultato? In fondo anche la radice di 2 è irrazionale.
Però si può disegnare! Basta prendere un quadrato con lato 1 e disegnare la sua diagonale.

E chi ti dice che è esatto? Hai appena detto che le misurazioni comportano un errore!
Infatti ho parlato di disegnare un segmento, non misurarlo. Anche se il centimetro fa difficoltà a darmi una misura precisa, so che vale esattamente radice di 2 dai calcoli, dall’algebra e non da prove reali. Trovare una misura in termini di calcoli significa essere sicuri che quello è il suo valore reale, indipendentemente da quanto poi gli strumenti che abbiamo a disposizione diano come risultato. Rappresenta una certezza al di là di quello che dicono i tuoi sensi.

E questo con š non si può trovare; se ho capito bene non esistono espressioni che mi diano come risultato un segmento dritto lungo š.
Esatto: in sostanza quello che hai detto è la definizione di numero trascendente. Sono valori che non è possibile avere come soluzioni di equazioni algebriche a coefficienti interi di primo e secondo grado.

E con questa ultima rivelazione il racconto finisce…
No che non finisce, o meglio la delusione fu tanta che cessarono tutte le ricerche delle cifre decimali di pigreco. Pensa che nel 1873 si era arrivati a 527 cifre esatte dopo la virgola!
Ma poi arrivarono i calcolatori elettronici...

E che c’entrano i computer?
Nel 1950 la follia di voler trovare più numeri possibili di pigreco riprese. Si sapeva che non era possibile arrivare alla fine, ma, conoscendo i matematici, la loro voglia di precisione supera anche l’impossibile.

E con questo?
Con questo voglio dire che oggi i calcoli li fanno i computer, molto più veloci di carta e penna fino ad allora adoperati. Nel Maryland si è arrivati a calcolare ben 2036 cifre. Niente a confronto dell’oltre un miliardo di cifre raggiunto nel 1989 da due matematici americani della Columbia University!

Sai, a scuola ho incontrato spesso pigreco, ma questa è la prima volta che qualcuno mi spiega esattamente cos’è ed a cosa serve. Ho sempre pensato che fosse una stramberia dei matematici, inventata apposta per complicare la vita a noi studenti!
So quello che vuoi dire! A volte la quotidianità nel maneggiare certi concetti, in questo caso numeri, rende scontato anche quello che in realtà non lo è. È facile per noi, oggi, aprire un libro, trovare ciò che ci interessa e adoperarlo senza porci domande su come sia finito lì o del perché ci sia.
Hai visto quanto è stato laborioso arrivare ad una conclusione per quello che riguarda il semplice calcolo di cifre? E questo lavoro è il frutto del sacrificio di uomini e donne che hanno dedicato energie e tempo a ciò che noi ora consideriamo consuetudine. Tanti secoli e tanti matematici per arrivare a dire che...

… Non è possibile trovare tutte le cifre perchè sono infinite e tutte diverse tra loro.
E...

… Che non si può neanche disegnare!
Una sconfitta, insomma!
Tanta fatica per non ottenere niente!