Numero 11

Eccomi qui, sono pronta.
Pronta per cosa?
Non fare finta di non capire, per la storia di pigreco. Voglio sapere come va a finire!
Ah, sì š... dove eravamo rimasti?

Ad un tizio che aveva fatto un calcolo folle di lati e che aveva anche scoperto una legge sulla luce, mi pare.
Snell, quello che con il calcolo di esaustione era arrivato alla 35a cifra esatta di pigreco con un poligono di 1.073.741.824 lati.
Ma i tempi stavano cambiando e, nel corso del XVII sec., la matematica si imbatté nel più grande filosofo e matematico moderno: René Descartes, Cartesio per noi Italiani.

Mi sembra di averlo sentito nominare... Cartesio... ha a che fare con le coordinate cartesiane?
Brava, le coordinate cartesiane sono frutto del suo pensiero. In questo modo un qualunque punto nel piano si può individuare attraverso due numeri, l’ascissa e l’ordinata. Si possono costruire tutte le figure geometriche che vogliamo a partire proprio dai numeri e non più da riga e compasso, come facevano i Greci.

Vuoi dire che la geometria non vale più?
Non ho detto questo, ma solo che Cartesio introduce una nuova visione del fare matematica, non più rette e cerchi, ma numeri. La geometria è ancora valida, perché concreta e tangibile e soprattutto è nella realtà della Natura; questo nuovo metodo è astratto, sono l’algebra ed il calcolo letterale. Rappresenta un nuovo potere della mente razionale: la possibilità di pensare e lavorare non più su ciò che si vede, ma su ciò che si pensa, le idee. Non per niente Cartesio è quello del “Cogito ergo sum” (Penso dunque sono).

Non ti seguo più. Che significa “possibilità di lavorare su ciò che si pensa”? Fammi un esempio.
Supponiamo che tu pensi ad una mela. Senza averla davanti agli occhi puoi vederla nella tua mente verde, gialla, rossa e, se lasci andare la tua fantasia, anche blu a pois arancione fosforescente.
Non hai la mela davanti a te, ma solo nella tua mente. È un’idea appunto e su di essa stai costruendo una serie di possibilità, puoi anche cambiarle forma, se vuoi. Lei comunque esisterà nei tuoi pensieri. Questo significa la possibilità di lavorare su ciò che si pensa e non sul concreto.

Avevo ragione io, la geometria non serve più.
I Greci osservavano il mondo attorno a loro e ne riproducevano le forme, le figure attraverso la riga ed il compasso. Poi ne studiavano le proprietà, per esempio l’uguaglianza degli angoli, dei lati, la perpendicolarità o il parallelismo e via di seguito. Guardavano la natura per riprodurla e scoprirne le leggi matematiche, geometriche.
La geometria greca è importante perché è lo studio del mondo a cui apparteniamo. Conoscerlo significa capire anche noi stessi come esseri viventi.
Ma siamo anche esseri dotati di una scintilla in più, la capacità di pensare in astratto. Ed è qui che l’approccio cartesiano alla matematica diventa fondamentale, perché apre questa nuova frontiera e, per esempio, permetterà di considerare pigreco non più esclusiva dei cerchi, ma di tutte le figure curvilinee.

Oh sì, š, me ne ero quasi dimenticata...
Sì, nel tentativo di risolvere alcuni problemi insoluti dell’antichità, Cartesio si imbatte in altre figure geometriche che cerca di classificare. Cercandone l’area ecco che si ripresenta il nostro prezzemolino... e continua ad assillare i matematici.

A quanti lati sono arrivati questa volta? Le cifre esatte sono diventate... 135?
Questa volta il gioco cambia, si scopre un nuovo metodo per approssimare pigreco.

Ah sì? E quale? Da chi?
Il XVI secolo è un periodo di grandi novità: lo sviluppo della fisica e dell’astronomia è tale da richiedere un’attenzione particolare nel calcolo di numeri molto piccoli per la prima o molto grandi per la seconda. Nasce il calcolo infinitesimale: cercare il valore di grandezze o molto piccole o enormi, infinitamente grandi, come le distanze delle stelle tra loro.
Nasce l’analisi moderna.

E questo che c’entra con pigreco?
Il cominciare a ragionare sul concetto di infinito apre le porte a molte possibilità. Quelle che più ci interessano sono le somme o il prodotto infinito di numeri.

Somma infinita di numeri? Che cos’è?
Pensa di cominciare a fare 1+2+3+4 ed ogni volta aggiungi il numero successivo. I numeri sono infiniti? Allora anche la somma è infinita. Si può fare la stessa cosa con la moltiplicazione. Il termine moderno è serie numerica.

Va bene, ho capito; ma, ripeto, che c’entra con pigreco?
Abbi pazienza! Questo è il nuovo modo per approssimare il nostro prezzemolino. Il primo matematico ad ottenerlo come prodotto infinito di numeri fu Francois Viète (1540-1603).
In che modo?
Non ti seguo più.
Puoi fare un esempio?
L’espressione adoperata da Viète è un po’ complicata. L’esempio te lo faccio con una serie trovata da Leibniz (1646-1716), altro matematico che, insieme con Newton ed Eulero, si interessò di š negli anni seguenti.

OK, basta capire come viene fuori il numero.
La serie trovata da Leibniz è la seguente
Ora considera solo
cioè 0,6 che, moltiplicato per 4, dà come risultato circa 2,6; un valore abbastanza vicino a 3,14.

Beh, non proprio così vicino…

Sì, hai ragione! Allora proviamo:
Se moltiplichi sempre per 4 ottieni 3,44. Questo risultato va meglio, no?
Se ora ci provi con 5 cifre il numero che ottieni è 3,3. L’avrai capito: più termini consideri nel calcolo più ti avvicini al valore reale di š.

Ma se poi finiscono le frazioni?
Non possono finire. Guardale bene, ognuna è ottenuta dall’altra aggiungendo al denominatore della frazione 2 ed alternando i segni. Puoi ottenerne quante ne vuoi, basta rispettare queste due regole.
Abbiamo trovato un nuovo modo per calcolare le cifre dopo la virgola.

Sì certo, ma un metodo ce l’avevamo già: il principio di esaustione. Tutto questo lavoro per trovarne un altro?
Ma questo è molto più facile dell’altro. Pensa a calcolare aree di poligoni con numeri enormi di lati, qui basta fare solo un po’ di somme di frazioni. E poi c’è un altro vantaggio: non abbiamo più a che fare con la geometria!

E quindi?
Quindi, dopo averlo liberato dal dominio dei cerchi con Cartesio, pigreco diventa un elemento presente in tutta la matematica, non più solo nella geometria. In termini moderni lo chiameremo elemento trasversale. Per questo lo definisco prezzemolino!

E qui finisce, vero?
No, non finisce qui. Abbiamo fatto una grande conquista, quella di avere trovato un metodo di calcolo più semplice grazie all’aiuto dei numeri e dell’infinito, lasciando stare la geometria, ma eravamo partiti da un altro punto: trovare l’ultima cifre decimale di š. Ricordi?

Oh sì, ricordo...
Ho capito! Rimandiamo ad un’altra puntata il resto del racconto. Per oggi credo sia abbastanza.

- Fine seconda parte -